固有空間法による視覚サーボ

本研究においては, 画像を各画素値を座標値とする, 総画素数Nの次元の空 間の一点Iで表し, そのS次元部分空間の基底 $\{\phi_1,\cdots,\phi_S\}$とIの内積をとることで得られるベクトルa^' (図2.34(a))をカメラ・対象物体の運動と対応つけることで視 覚サーボを行う. カメラ・対象物体の位置・姿勢をwで表す. wの運動に 対する a^'の変化の関係は, 行列L^Tを用いて,

$${\rm d} \mbox{\boldmath$a$}'=L^T{\rm d} \mbox{\boldmath$w$}\vspace{-0.2cm}$$ (2.4)

と記述される. L^Tは相互行列と呼ばれる. L^Tはwの値に依存 するが,制御を容易に実現するためには, L^Tが一定とおけることが望ましい. そこで, ゴール近傍のなるべく広い範囲でL^Tを一定とおくことが出来るよ うに, すなわちwとa^'の積空間内で, wとa^'の組の分布がゴール近傍の広い範囲で平面的になるように, 部 分空間の基底 $\{\phi_1,\cdots,\phi_S\}$を構成する(図 2.34(b)).

Figure 2.34: ゴール近傍の広い範囲で, L^Tを一定とおけるような 部分空間の基底を構成する.

(a) 画像Iを部分空間内でa^'と表現する

(b) L^Tによって，a^'と wを対応付ける

得られた相互行列の疑似逆行列L^T+を用いて, a^'のゴールとの違い $\Delta \mbox{\boldmath$a$}'$から, wのゴールとの違い $\Delta \mbox{\boldmath$w$}$を

$$\Delta \mbox{\boldmath$w$}=L^{T+}\Delta \mbox{\boldmath$a$}'$$ (2.5)

のように推定し, その方向へカメラ・対象物体の運動を制御することで, 視覚 サーボを行う. 以下に, あらかじめ様々な位置で撮影された画像集合 { I₁, …, I_k } 及び, 撮影された位置 { w₁, …, w_k } を用いて, 部分空間の基底 $\{\phi_1,\cdots,\phi_S\}$及び, L^Tを求める方法について述べる.

固有空間法

まず, 固有空間法により画像を低次元のベクトルで表す. 固有空間法は, 画像 集合の共分散行列の固有ベクトルを部分空間の基底として用いて, 画像を表す 手法である. なお, 表記を単純にするために, 画像を表すベクトル Iは, あらかじめ画像集合の平均値を引くことで平均 oをとるものとする. P = [ I₁, …, I_k ] として, 共分散行列Q=PP^TのM 組の大きい固有値 $\{\lambda_1,\cdots,\lambda_M\}$に対 応する固有ベクトル { e₁, …, e_M }を求める.

固有空間の再構成

次に, { e₁, …, e_M }の線形和により, 式(1)のL^Tがなるべく wに依存しないように, 制御基底画像 $\{\phi_1,\cdots,\phi_S\}$(S < M)を構成する.

まず最初に$\phi_1$及び, L^T (= [ l₁, …, l_S) ]^T) の第1行ベクトルであるl₁を決定する.

$\phi_1$を, $\phi_1 = E \mbox{\boldmath$d$}_1$として表す. 画像I に対する, $\phi_1$によって得られる係数ベクトルの要素a'₁は,

$$a'_1 = \phi_1^T \mbox{\boldmath$I$}$$ (2.6)

として得られる. a'₁を, l₁及び, wのゴールにおける値w_Gと, ゴール画像 I_Gに対応するa₁'の値 a'_1,Gを用いて,

$$\hat{a}_1'= \mbox{\boldmath$l$}_1^T( \mbox{\boldmath$w$}- \mbox{\boldmath$w$}_G)+a'_{1,G}$$ (2.7)

と1次式で推定したときに, 画像集合全体の推定による自乗誤差が小さくなる ように, l₁, $\phi_1$を決定する. 自乗誤差の最小値を与えるl₁ ，及びその時の平均自乗誤差Err_minは,

$$\mbox{\boldmath$l$}_1=(WW^T)^{-1}WY^TE \mbox{\boldmath$d$}_1$$ (2.8)

$$Err_{min} = \mbox{\boldmath$d$}_1^T\{\frac{1}{K}E^TY(U_M-W^T(WW^T)^{-1}W)Y^TE\} \mbox{\boldmath$d$}_1$$ (2.9)

$$\pmatrix{ Y=[ \mbox{\boldmath$I$}_1- \mbox{\boldmath$I$}_G,\... ...oldmath$w$}_K- \mbox{\boldmath$w$}_G]\cr U_M : M次元単位行列 }$$

と表現することが出来る. 式(2.9)を小さくすると同時に, a₁'が wの変化に敏感であるような$\phi_1$を選びたいので, a₁'の画像集合全体の分散で式(2.9)との比をとる.

$$\frac{Err_{min}}{\sigma^2}=\frac{ \mbox{\boldmath$d$}_1^TB \... ...$d$}_1}{ \mbox{\boldmath$d$}_1^T\Lambda \mbox{\boldmath$d$}_1}$$ (2.10)

$$\pmatrix{ B=\frac{1}{K}E^TY(U_M-W^T(WW^T)^{-1}W)Y^TE\cr \Lambda=\mbox{diag}[\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_M] }$$

式(2.10)を最小とする, d₁を用いて, $\phi_1$, l₁を得る. d₁に直交する条件のもとで, 式 (2.10)を最小にする d₂を求めることで, $\phi_2$ , l₂を得る. 以下, 同様にS組の制御基底画像 $\{\phi_1,\cdots,\phi_S\}$及び, 相互行列 L^T (= [ l₁, …, l_S) ]^T) を得る.

制御則

あらかじめ与えられている, ゴール画像の係数ベクトル a^'_G が得られるように制御を行う.

1.

現在の wにおける画像Iを得る.

2.

係数ベクトル $\mbox{\boldmath$a$}' (=[\phi_1,\cdots,\phi_S]^T \mbox{\boldmath$I$})$ を得る.

3.

a^'のゴールとの違いから, wのゴールとの違い $\Delta \mbox{\boldmath$w$}$を推定する.

$$\Delta \mbox{\boldmath$w$}=L^{T+}( \mbox{\boldmath$a$}'_G- \mbox{\boldmath$a$}')$$

4.

推定された方向にカメラ・対象物体を少し動かす.

1〜4を繰り返し, a^'が a^'_Gと一致したら制御を終了する.